Programmes de colles

Assertions, prédicats. Synonymes.
Non, et, ou. Implication, équivalence. Quantificateurs.
Méthodes de démonstration : disjonction des cas, contre-exemple, implication, équivalence, implications circulaires, contraposée, absurde, récurrence simple, forte, à plusieurs prédécesseurs.
Ensembles, parties d’un ensemble. Ensemble vide.
Union, intersection, complémentaire, différence, différence symétrique.
Complémentaire d'une union, d'une intersection (*).
Produit cartésien.

Correspondances, fonctions, applications. Ensemble de définition.
Restriction, prolongement.
Image directe, image réciproque.
Injection, surjection, bijection. Composée de fonctions (*).
Si \(g \circ f\) est injective alors \(f\) l’est.
Si \(g \circ f\) est surjective alors \(g\) l’est. (propriété « SI », (*))
Réciproque d’une fonction bijective. Réciproque d’une composée.

Rappels sur les études de fonction : continuité, dérivabilité en un point, extréma, variations.
Asymptotes, étude systématique des branches infinies.
Fonctions exponentielle, logarithme, puissance. Croissances comparées.
Fonctions hyperboliques : ch, sh, th, Argch, Argsh, Argth.
Fonctions circulaires : cos, sin, tan, Arccos, Arcsin, Arctan.
(Pour toutes les fonctions usuelles, il est indispensable de connaître par cœur : ensembles de définition, de dérivabilité, ensemble image et expression de la dérivée. Les formules de trigo hyperbolique ne sont pas exigibles… mais sont souvent utiles.)

Construction de \(\mathbb{C}\) (polycopié, hors programme).
Nombre imaginaire \(i\). Parties réelle et imaginaire, module d’un complexe. Conjugué, inverse d’un complexe.
Inégalité triangulaire.
Plan d’Argand-Cauchy : affixe d’un point, d’un vecteur.
Interprétation complexe des symétries par rapport aux axes.
Groupe unitaire. Formule de Moivre.
Argument d’un complexe. Exponentielle complexe.
Interprétation complexe d’une rotation, d’une homothétie, d’une similitude directe.
Dérivation des fonctions à valeurs dans \(\mathbb{C}\), en particulier de l’exponentielle.
Racines carrées d’un complexe, résolution des équations du second degré.
Racines n-ièmes de l’unité, d’un complexe.

Symboles \(\sum\) et \(\prod\).
Indice muet, changement d’indice.
Binôme de Newton. Télescope. Sommes de Newton.
Sommes doubles. Changement d’indice d’une somme en rectangle, en triangle.

Repérage dans le plan.
Repère cartésien, coordonnées, abscisse, ordonnée.
Repère polaire, pôle, coordonnées polaires.
Équation cartésienne, équation polaire, représentation paramétrique.
Produit scalaire, norme, déterminant de 2 vecteurs.
Propriétés des sinus, des cosinus dans un triangle.
Droites : représentation paramétrique, équation cartésienne, équation normale, équation polaire. Distance d’un point à une droite.
Intersection de 2 droites. Condition nécessaire et suffisante d’existence et d’unicité de la solution d’un système de 2 équations à 2 inconnues. Formules de Cramer.
Cercles : équation cartésienne, représentation paramétrique, équation polaire d’un cercle centré au pôle ou passant par le pôle.
Intersection d’un cercle et d’une droite, de 2 cercles.
Condition de cocyclicité ou alignement.
Lignes de niveau de quelques fonctions scalaires.

Repérage dans l’espace.
Repère cartésien, coordonnées, abscisse, ordonnée, cote.
Coordonnées cylindriques, coordonnées sphériques.
Produit scalaire, norme. Angle de 2 vecteurs.
Les vecteurs orthogonaux à 2 vecteurs non colinéaires sont tous colinéaires à un même vecteur non nul.
Produit vectoriel. Expression dans une base orthonormée directe.
Produit mixte, déterminant de 3 vecteurs. Expression dans un repère orthonormé direct. Règle de Sarrus.
Coplanarité de 3 vecteurs.
Représentation paramétrique d’une droite, d’un plan.
Équation cartésienne d’un plan. Vecteur normal. Plans parallèles, perpendiculaires.
Intersection de 2 plans. Équation cartésienne d’une droite.
Intersection d’une droite et d’un plan.
Condition nécessaire et suffisante d’existence et d’unicité de la solution d’un système de 3 équations à 3 inconnues.
Projection orthogonale sur un plan, une droite. Distance d’un point à un plan, à une droite. Méthodes de calcul.
Perpendiculaire commune à 2 droites. Distance d’une droite à une autre.
Sphères : équation cartésienne, représentation paramétrique.
Intersection d’une sphère et d’un plan. Équation cartésienne d’un cercle. Grand cercle. Intersection de 2 sphères.

Vocabulaire : équation différentielle ordinaire d’ordre n, forme résolue de l’équation, solution, problème de Cauchy, courbes intégrales.
Équations différentielles linéaires. Équation homogène associée. L’ensemble des solutions de l’équation homogène est un sous-espace vectoriel. Toute solution de l’équation est la somme d’une solution de l’équation homogène et d’une solution particulière. Principe de superposition.
Résolution de l’équation différentielle linéaire du 1er ordre. Méthode de variation de la constante. Raccordement de solutions.
Résolution de l’équation différentielle linéaire homogène du 2nd ordre à coefficients constants dans \(\mathbb{R}\) et dans \(\mathbb{C}\). Recherche de solutions particulières lorsque le second membre est le produit d’un polynôme et d’une exponentielle. Méthode de variation des 2 constantes. Raccordement de solutions.
Polycopié sur quelques méthodes d’intégration numérique des équations différentielles du 1er ordre : méthode d’Euler, méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 (hors programme).

Fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}^2\) ou \(\mathbb{C}\). Fonctions composantes. Dérivabilité.
Arc paramétré, support de l’arc, arc géométrique.
Arc simple, arc compact, arc de Jordan, arc fermé.
Ordre de multiplicité d’un point du support.
Point régulier, singulier, stationnaire.
Arc régulier, birégulier. Équation de la tangente en un point régulier.
Entiers caractéristiques d’un point. Allure de la courbe en fonction de ceux-ci : point ordinaire, d’inflexion, de rebroussement de 1ère ou 2ème espèce.
Plan d’étude d’une courbe paramétrée, restriction de l’étude, symétries, variations, points particuliers, branches infinies, points multiples.
Étude particulière aux courbes polaires. Équation polaire de la tangente à une courbe polaire.

Définition géométrique historique comme intersection d’un cône et d’un plan.
Définition moderne par foyer, directrice et excentricité. Axe focal, paramètre.
Équation polaire et cartésienne dans un repère centré au foyer et d’axe l’axe focal.
Ellipses : équation réduite, centre, sommets, grand axe, petit axe, paramètres analytiques, cercle principal, symétries, représentation paramétrique. Équation cartésienne de la tangente en un point.
Image d’un cercle par une affinité orthogonale.
Projection orthogonale d’un cercle sur un plan.
Étude bifocale, tangente à une ellipse connaissant ses 2 foyers.
Hyperboles : équation réduite, centre, sommets, paramètres analytiques, symétries, représentation paramétrique. Équation cartésienne de la tangente en un point.
Équation d’une hyperbole dans le repère de ses asymptotes.
Étude bifocale, tangente à une hyperbole connaissant ses 2 foyers.
Paraboles : équation réduite, sommet, symétrie.
Représentation paramétrique. Équation cartésienne de la tangente en un point.
Courbes du 2nd degré : discriminant et trace sont invariants par changement de repère orthonormé.
Classification de toutes les courbes du 2nd degré.
Méthode d’identification par rotation et translation du repère (sans vecteurs propres !). Recherche des centres de symétrie.
Équation de la tangente en un point par dédoublement des termes.

Relation binaire : réflexive, symétrique, antisymétrique, transitive.
Relations d’équivalence (hors programme) : les classes d’équivalence forment une partition.
Relations d’ordre : ensemble ordonné, éléments comparables, ordre total, partiel.
Majorant, minorant d’une partie. Partie bornée.
Plus petit, plus grand élément d’une partie. Unicité.
Toute partie non vide de \(\mathbb{N}\) possède un plus petit élément.
Toute partie non vide et majorée de \(\mathbb{N}\) possède un plus grand élément.
Ensembles équipotents, ensembles finis, cardinal.
Les parties finies de \(\mathbb{N}\) sont les parties majorées et l’ensemble vide.
Si \(F\) est inclus dans \(E\) alors \(card(F) \leq card(E)\).
Ensembles finis et injection, surjection, bijection.
Dénombrement d’une réunion de parties finies, d’un produit cartésien, d’un ensemble de fonctions, de l’ensemble des parties. Arrangements, combinaisons.
Rudiments d’arithmétique : propriété d’Archimède dans \(\mathbb{N}\), division euclidienne des entiers, nombres premiers.
L’ensemble des nombres premiers est infini.
Décomposition d’un entier en produit de puissances de nombres premiers.

La relation d’ordre sur \(\mathbb{R}\) est compatible avec l’addition et la multiplication.
Inégalité triangulaire.
Une somme de positifs n’est nulle que s’ils sont tous nuls.
Inégalité de Cauchy-Schwarz et Minkowski pour les sommes finies.
Borne supérieure, inférieure d’une partie d’un ensemble ordonné.
Toute partie non vide et majorée de \(\mathbb{R}\) possède une borne supérieure.
Caractérisation de la borne supérieure.
Les intervalles de \(\mathbb{R}\) sont les parties convexes de \(\mathbb{R}\).
Rudiments de topologie de \(\mathbb{R}\) : intérieur, adhérence d’une partie, partie ouverte, fermée.
Propriété d’Archimède dans \(\mathbb{R}\). Division euclidienne dans \(\mathbb{R}\). Parties entière et fractionnaire d’un réel.
\(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) sont denses dans \(\mathbb{R}\).
Développement décimal d’un réel.
Droite numérique achevée.
Partie positive, négative d’une fonction.
Décomposition d’une fonction en parties paire et impaire.

Suites majorées, minorées, bornées.
Limite finie, convergence, divergence. Limite infinie.
Théorème de limite par encadrement. Unicité de la limite.
Si \(u \rightarrow l\) et si \(a < l < b\) alors à partir d’un certain rang \(a < u_n < b\).
Opérations sur les limites finies et infinies. Limites et inégalités.
Suites monotones. Théorèmes de la limite monotone, des suites adjacentes, des segments emboîtés.
Suites extraites. Si une suite est croissante (décroissante, majorée, minorée, etc.) alors toute suite extraite l’est aussi. Si une suite admet pour limite \(l \in \overline{\mathbb{R}}\) alors toute suite extraite également.
Si \((u_{2n} )\) et \((u_{2n+1} )\) ont la même limite \(l \in \overline{\mathbb{R}}\) alors \(u\) aussi.
Théorème de Bolzano-Weierstrass (démonstration hors programme)
Brève extension aux suites complexes.

Relations de comparaison des suites : suites dominées, négligeables, suites équivalentes, notation de Landau : \(o, O, \sim\). Caractérisation à l’aide du quotient \(\dfrac{u_n}{v_n}\) . Opérations.
Comparaison des suites de référence : \(a^n,n^a,n!,(\ln (n) )^a\).
Résultats fondamentaux : limites et équivalents, signe de deux suites équivalentes.

Limite en un point, à gauche, à droite. Unicité de la limite. Caractérisation séquentielle des limites (*). Opérations sur les limites. Théorème de la limite monotone. Notations de Landau pour les fonctions. Croissances comparées en 0 et en \(+\infty\). Équivalents usuels en 0 \((\heartsuit)\).
Continuité en un point, à gauche, à droite. Prolongement par continuité.
Propriété de Cauchy : si \(f\) est continue sur \([a,b]\) et si \(f(a)f(b) < 0\) alors il existe \(c \in\left]a,b\right[\) tel que \(f(c)=0\) (*). Théorème des valeurs intermédiaires. L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. L’image d’un segment par une fonction continue est un segment.
Bijections continues monotones entre deux intervalles.
Fonctions uniformément continues, théorème de Heine. Fonctions lipschitziennes.
Brève extension aux fonctions à valeurs complexes.

Loi de composition interne (l.c.i.). Associativité, commutativité. Neutre. Partie stable par une loi.
Monoïde = ensemble muni d’une loi associative admettant un neutre. Symétrique d’un élément.
Notations multiplicative ou additive de la loi d’un monoïde.
Groupe, groupe abélien, sous-groupe. Critère pratique de caractérisation d’un sous-groupe \((\heartsuit)\).
Une intersection de sous-groupes est un sous-groupe (*). Groupe engendré par une partie.
L’ensemble des éléments inversibles d’un monoïde forme un groupe.
Morphisme de groupes. Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme. L’image directe, réciproque, d’un sous-groupe est un sous-groupe. Un morphisme est injectif ssi son noyau est réduit au neutre (*).
Distributivité à droite et à gauche d’une loi sur une autre. Anneau. Sous-anneau, critère pratique. Groupe des inversibles. Morphisme d’anneaux. Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme.
Anneau intègre, diviseurs de 0. Corps. Sous-corps, critère pratique.

Nombre dérivé en un point, à gauche, à droite. Dérivabilité implique continuité.
Opérations sur les dérivées. Nombre dérivé de la réciproque d’une bijection dérivable.
Dérivabilité sur un intervalle. Fonction dérivée. Dérivées successives. Fonctions de classe \(D^n,C^n,C^{\infty}\) sur un intervalle. Formule de Leibniz pour la dérivée \(n\)-ième d’un produit.
Si \(f\) croît (resp. décroît), alors \(f'\geq 0\), (resp. \(f' \leq 0\)). Si \(f\) admet un extremum local en un point \(x_0\) intérieur à son ensemble de définition où elle est dérivable alors \(f' (x_0 )=0\) (*). Théorème de Rolle. Égalité des accroissements finis (*). Monotonie en utilisant la dérivée. Inégalité des accroissements finis. Caractérisation des fonctions lipschitziennes parmi les fonctions dérivables.
Dérivabilité d’un prolongement continu.
Brève extension aux fonctions à valeurs complexes.
Application à l’étude des suites récurrentes du type \(u_{n+1}=f(u_n)\).

Fonctions convexes, concaves. Épigraphe.
Croissance des taux d’accroissement. Croissance de la dérivée. Dérivée seconde positive.
Inégalité de Jensen (*) et en application : Comparaison des moyennes arithmétique, géométrique et harmonique, inégalités de Hölder et de Minkowski pour des sommes finies.

Définition des DL en \(x_0 \in \mathbb{R}\) et en \(\pm \infty\). Unicité des coefficients d’un DL (*).
DL en 0 d’une fonction paire ou impaire. Troncature d’un DL.
DL d’ordre 0 implique continuité. DL d’ordre 1 implique dérivabilité.
Égalité de Taylor-Lagrange (*). Inégalité de Taylor-Lagrange. Développement de Taylor avec reste intégral. Formule de Taylor-Young. DL usuels en 0 \((\heartsuit)\).
Calculs de DL par somme, produit, intégration, et dans certains cas simples par quotient et composée.
Brève extension aux développements limités généralisés et aux développements asymptotiques.

Définition d'un espace vectoriel (ev), d'un sous-espace vectoriel (sev), critère pratique. Ev usuels.
Définition d'une algèbre, d'une sous-algèbre, critère pratique, algèbres usuelles (sauf polynômes). Intersection de sev (*), de sous-algèbres. Sev engendré par une partie. Combinaison linéaire.
Somme de sev, somme directe (*), base adaptée à une somme directe, supplémentaire.
Famille libre, liée, génératrice, base. Coordonnées. Base adaptée à une somme directe.
Application linéaire, noyau, image. Isomorphisme, endomorphisme, automorphisme.
Morphisme d'algèbre, noyau, image.
Caractérisation de l'injectivité. Une application linéaire est bijective si et seulement si l'image d'une base est une base.
Fonction déterminée par son action sur une base, sur une somme directe.
\((L(E,F),+,\cdot)\) est un espace vectoriel, \((L(E),+,\cdot,\circ)\) une algèbre, \((GL(E),\circ)\) un groupe.
Homothéties. Formes linéaires, hyperplans. Équation d’un hyperplan.
Projecteurs, caractérisation par \(p \circ p=p\). Symétries, caractérisation par \(s \circ s=Id\).
Attention : pas de dimension finie pour l’instant !

Définition d’un polynôme et des opérations sur les polynômes.
\((\mathbb{K}[X],+,\cdot,\times)\) est une algèbre. La famille \((X^k )_{k \in \mathbb{N}}\) en est une base.
Degré et valuation d’un polynôme, opérations sur les degrés.
\(\mathbb{K}_n [X]\) est un sous-espace vectoriel. La famille \((X^k )_{0\leq k \leq n}\) en est une base (on ne connaît toujours pas la dimension !).
Toute famille de polynômes \((P_k )_{k\in \mathbb{N}}\) telle que \(\forall k \in \mathbb{N},d^\circ P_k=k\) est une base de \(\mathbb{K} [X]\) \((\heartsuit)\).
Division euclidienne des polynômes (*).
Fonction polynôme, polynôme dérivé. Formules de Taylor et d’Euler - Mac-Laurin.
Racines, ordre d’une racine. Polynôme scindé. Polynômes symétriques élémentaires en les racines.
Théorème de d’Alembert-Gauss (admis). Décomposition en facteurs irréductibles dans \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\).

Espace vectoriel de dimension finie. Les familles libres sont de cardinal inférieur aux familles génératrices. Théorème de la base incomplète (*).
Existence d'une base. Toutes les bases ont même cardinal. Dimension.
Cardinal d’une famille libre, d’une famille génératrice par rapport à la dimension.
Deux espaces vectoriels de dimension finie sont isomorphes si et seulement si ils ont la même dimension.
Dimension d’un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie. Existence d’un supplémentaire.
Si \(F\) et \(G\) sont 2 sous-espaces vectoriels de dimension finie d’un espace vectoriel \(E\) quelconque alors \(F=G \Leftrightarrow (F \subset G \text{ et } \dim(F)=\dim(G) \quad (\heartsuit)\). Dimension d’une somme de sous-espaces vectoriels (*), d’une somme directe.
Si les \((E_i )_{1\leq i \leq n}\) sont des espaces vectoriels de dimension finie alors leur produit cartésien \(E\) l’est aussi et \(\dim(E)=\sum_{i=1}^n \dim(E_i)\).
Si \(E\) et \(F\) sont des espaces vectoriels de dimension finie alors \(L(E,F)\) l’est aussi et \(\dim(L(E,F) )=\dim(E) \times \dim(F)\).
Rang d’une application linéaire, théorème du rang (*). Relations avec injectivité, surjectivité et bijectivité. Rang d’une famille de vecteurs, propriétés.
Application : méthode du pivot de Gauss pour le calcul du rang d'une famille de vecteurs dont on connaît les coordonnées.

Définition des fonctions en escalier. Définition des fonctions continues par morceaux.
Approximation uniforme d'une fonction continue par morceaux par une suite de fonctions en escalier.
Intégration des fonctions en escalier. Intégration des fonctions continues par morceaux.
Propriétés de l'intégrale : linéarité, positivité, croissance, relation de Chasles. \((\heartsuit)\)
La valeur absolue de l'intégrale est inférieure ou égale à l'intégrale de la valeur absolue. \((\heartsuit)\)
Une fonction continue positive d'intégrale nulle est nulle (*).
Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski \((\heartsuit)\). Inégalité de Hölder.
Inégalité de la moyenne : \(|\int_a^b fg | \leq \sup |f| \times \int_a^b |g| \quad (\heartsuit)\) (aucune autre formule dite "de la moyenne" n’est au programme)
Sommes de Riemann, notamment à pas constant \((\heartsuit)\).
Extension de l’intégrale aux fonctions à valeurs complexes.
Calcul approché d’intégrales : méthode des rectangles, des trapèzes.

Intégrale fonction des bornes. Continuité, dérivabilité.
(La formule de dérivation d'une intégrale fonction des bornes est à savoir parfaitement !)
Théorème fondamental de l’intégration. Formule d'intégration par parties.
Formule de changement de variable \((\heartsuit)\), notamment changement de variable affine.
Primitives usuelles \((\heartsuit)\). Calcul de primitives et d'intégrales. Règles de Bioche. Intégrales abéliennes.
(Quelques méthodes de décomposition en éléments simples ont été vues en cours mais aucune pratique générale n’est exigible, notamment pour les éléments du second degré d’ordre multiple. En revanche, la façon d'intégrer les éléments simples est censée être connue.)

Espace vectoriel \(M_{n,p} (\mathbb{K})\) des matrices à \(n\) lignes et \(p\) colonnes à coefficients dans le corps \(\mathbb{K}\).
Base canonique : matrices élémentaires \(E_{i,j}\).
Matrices ligne, matrices colonne.
Produit de matrices \((\heartsuit\): La formule donnant les coefficients d’un produit matriciel : \([AB]_{i,j}=\displaystyle{\sum_{k=1}^p [A]_{i,k} [B]_{k,j}} )\)
Algèbre \(M_n (\mathbb{K})\) des matrices carrées.
Groupe \(GL_n (\mathbb{K})\) des matrices carrées inversibles.
La forme linéaire « trace », \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)\).
Transposée, matrices symétriques, matrices antisymétriques : \(M_n (\mathbb{K})=S_n (\mathbb{K})\oplus A_n (\mathbb{K})\).
Matrice de la famille de vecteurs \(c\) dans la base \(e\), notée \(\text{Mat}(c,e)\).
Matrice d'une application linéaire \(u\) dans les bases \(e\) au départ et \(f\) à l’arrivée, notée \(\text{Mat}(u,e,f)\).(\(\heartsuit\): La façon de calculer ces matrices).
Isomorphisme entre matrices et applications linéaires lorsque 2 bases sont fixées.
Matrice de passage de la base \(e\) à la base \(e'\), notée \(P_e^{e'}=\text{Mat}(Id_E,e',e)=\text{Mat}(e',e)\).
Changement de système de coordonnées : \(X=P_e^{e'} X' \quad (\heartsuit)\).
Changement de base de la matrice d'une application linéaire : \(\text{Mat}(u,e',f' )=P_{f'}^f \text{Mat}(u,e,f) P_e^{e'} (\heartsuit)\)
Rang d'une matrice. Opérations sur les lignes et colonnes. Méthode du pivot de Gauss pour le calcul du rang. Calcul de l’inverse d’une matrice (par le pivot de Gauss ou l’inversion de système uniquement).

(Ce chapitre fait théoriquement partie du programme de Maths spé mais pourra tout de même donner lieu à des exercices, de calculs principalement)
Propriétés élémentaires du groupe symétrique. Décomposition d'une permutation en produit de cycles et en produit de transpositions. Nombre d'inversions. Signature d’une permutation.
Applications n-linéaires, symétriques, antisymétriques, alternées.
L'espace vectoriel des formes n-linéaires alternées est de dimension 1 : \(A_n (E)=\text{vect}(\det_e)\).
Le déterminant d'une famille de vecteurs est non nul si et seulement si ceux-ci forment une base \((\heartsuit)\).
Déterminant d'un endomorphisme, indépendant du choix de la base.
Un endomorphisme est bijectif si et seulement si son déterminant est non nul \((\heartsuit)\).
Déterminant d'une matrice. \(\det({}^t\!A )=\det(A)\).
Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul \((\heartsuit)\).
Méthodes de calcul : opérations sur les lignes et les colonnes, développement par rapport à une ligne ou une colonne \((\heartsuit)\), déterminant d’une matrice triangulaire \((\heartsuit)\). (Insister sur l'obtention de résultats factorisés plutôt que développés)
Applications : Calcul du déterminant de Vandermonde (vu en exercice uniquement)
Établissement et utilisation d'une relation de récurrence pour un déterminant \(n\times n\).
Résolution d’un système d’équations à \(n\) équations et \(p\) inconnues. Système de Cramer, équations principales, inconnues principales, paramètres, conditions de compatibilité. (Seuls les systèmes de Cramer sont entièrement au programme. Les autres cas doivent être guidés s’il y a lieu)

(Dans ce chapitre, on insistera surtout sur les notions en gras, les autres étant à la limite ou en dehors du programme)
Espace affine, points, vecteurs. Notations.
Translations, sous-espaces affines, direction vectorielle, parallélisme.
Intersection de 2 sous-espaces affines.
Application affine, partie linéaire. Composée d’applications affines. Une application affine est injective (resp. surjective, bijective) si et seulement si sa partie linéaire l’est. Groupe affine.
Image directe, réciproque d’un sous-espace affine. Ensemble des invariants d’un endomorphisme affine.
Une application affine conserve l’alignement et le parallélisme.
Barycentre. Propriétés. Une application affine conserve les barycentres.
Groupe des homothéties-translations. Projections et symétries affines. Caractérisations \((\heartsuit)\).
Affinités.

Produit scalaire sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. Espace préhilbertien réel, espace euclidien.
Inégalités de Cauchy-Schwarz et Minkowski. Norme euclidienne associée à un produit scalaire.
Formules : \({\|x+y\|}^2={\|x\|}^2+2 \langle x;y \rangle+{\|y\|}^2\), identité du parallélogramme, identité de polarisation.
Vecteurs orthogonaux, familles orthogonales, familles orthonormées.
Relation de Pythagore pour une famille orthogonale finie \((\heartsuit)\).
Orthogonal d’une partie d’un espace vectoriel. L’orthogonal d’un singleton non nul est un hyperplan.
Existence de bases orthonormées dans un espace euclidien.
Produit scalaire canoniquement associé à une base d’un espace euclidien. Supplémentaire orthogonal.
Projection orthogonale. Expression de la projection orthogonale d’un vecteur sur un sous-espace de dimension finie muni d’une base orthonormée. Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt \((\heartsuit)\).
Distance à un sous-espace vectoriel possédant un supplémentaire orthogonal (*).
Isomorphisme canonique de \(E\) sur son dual \(E^*\). Vecteur normal à un hyperplan. Matrices orthogonales.
Endomorphismes symétriques et antisymétriques par rapport à un produit scalaire.
Orientation, bases orthonormées directes.

Équivalence entre « u conserve le produit scalaire » et « u conserve la norme » lorsque \(u\in L(E)\) (*).
Lien avec les matrices orthogonales et les bases orthonormées. Groupe orthogonal, spécial orthogonal.
Symétries orthogonales, réflexions hyperplanes. Tout automorphisme orthogonal d’un espace vectoriel de dimension \(n\) est la composée d’au plus \(n\) réflexions. (Hors programme)
Étude complète des automorphismes orthogonaux en dimensions 2 et 3.
Identification d’un automorphisme orthogonal en dimensions 2 et 3.
Isométrie d’un espace euclidien. C’est une application affine dont la partie linéaire est un automorphisme orthogonal. L’ensemble des isométries est un sous-groupe du groupe affine.
Déplacements, antidéplacements.
Étude complète des déplacements du plan et de l’espace. Identification (guidée).
Polycopié sur les antidéplacements et sur les similitudes du plan et de l’espace. (Hors programme)

Longueur d’un arc, abscisse curviligne.
Arcs équivalents. Arc orienté. Repère de Frenet. Paramètre angulaire. Courbure. Formules de Frenet.
Vitesse et accélération dans le repère de Frenet.

Normes et distances sur \(\mathbb{R}^n\), en particulier, les normes \(\|\dots\|_1,\|\dots\|_2,\|\dots\|_{\infty}\).
Boules, ouverts, fermés, intérieur, adhérence, voisinage. (Toute cette première partie de topologie est hors programme mais simplifie grandement les énoncés et les preuves des théorèmes du chapitre).
Limite et continuité d’une fonction de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\). Applications composantes.
Calcul différentiel. Applications partielles. Dérivée selon un vecteur, dérivée partielle. Gradient, différentielle. DL à l’ordre 1. Application à l’étude des extremums.
Dérivées partielles secondes et suivantes. Théorème de Schwarz. (admis)
Matrice jacobienne. Dérivée d’une composée.

Intégrale double d’une fonction continue sur un rectangle, plus généralement sur une partie bornée de \(\mathbb{R}^2\).
Propriétés de l’intégrale double. Théorème de Fubini.
Changements de variables, en particulier affines et en polaires.

(polycopié)
Divergence, rotationnel, potentiel scalaire.
Circulation. Formule de Green-Riemann.